1.2 Row Reduction and Echelon Forms

1.ECHELON FORMS

- Leading entry:  0이 아닌 행 또는 열은 0이 아닌 항목을 하나 이상 포함하는 행 또는 열을 의미 (맨 왼쪽의 0이 아닌성분)

- 이 세가지 조건을 만족하면 Echelon form(or row echelon form) 이다.

1. 모든게 0인것 위에 있다.
2. 첫번째줄은 첫번째, 두번째줄은 두번째 Leading entry 가 있게 배치해야된다.
3. Leading entry 밑에 있는 값들은 다 0이 되어야 한다. 

- 이 조건에다가 두개를 더 만족하면 Reduced echelon form(or reduced row echelon form)이다.

1. 0이 아닌 각 행의 Leading entry가 1이다.
2. 앞에 나오는 각 1은 해당 열의 0이 아닌 유일한 항목

출저 :https://www.instructables.com/Transforming-Square-Matrices-Into-Reduced-Row-Eche/

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2.PIVOT POSITION

- pivot position : reduced echelon form 에서 선두에 있는 1이 있는 위치

- pivot column : pivot position 을 포함하는 column(열- 세로줄)

여기서 pivot은 1,2,-5 이고 pivot column은 1,2,4째 행이다.

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3.ROW REDUCTION ALGORITHM

평범한 행렬 형태를

 

이러한 형태로 만들어주는게 Reduced echelon form이다.

 

- Forward phase : Echelon form 만드는 과정 (pivot 밑의 숫자들 0으로 만들어주기)

- Backward phase : Reduced echelon form 만드는 과정 (Echelon form 에서 pivot을 1로 만들어주고 pivot위에 있는 숫자들 0만들어주기)

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4.SOLUTIONS OF LINEAR SYSTEMS

- 위 과정을 통해 Reduced echelon form 을 만든후 해를 구하는 과정 

Reduced echelon form형태를

이렇게 식으로 나타내기 쌉가능이고

해를 구하면 이렇게 된다.

 

- Basic variables: x1, x2, x4

- Free variable : x3 

- Reduced echelon form에서 leading entry를 가지고 있지 않은 변수는 free variable가 된다.

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5.EXISTENCE AND UNIQUENESS THEOREM

 

- Reduced echelon form을 활용하여 단일해가 존재하는 경우에 대한 정리

• 모든 행의 pivot column값의 위치가 맨 오른쪽 bias의 값이 아니라면 해는 존재함 (pivot있는곳이 맨오른쪽 ㄴㄴ)
• free variable이 없을 때 해가 존재합니다.(모든 변수가 leading entry값을 가질 때)

- Augmented matrix로 나타냈을때

• 1) 마지막 pivot이 존재 => 해가 없다
• 2) 마지막 pivot이 없으면 
  • 2-1) 유일한해
  • 2-2) 많은해